К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера — серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая — чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная — чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.
Точки биссектрисы угла A между серой и чёрной сторонами деревянного треугольника равноудалены от этих сторон (серый цвет изображаем синим). Проведём через центры O1 и O2 серого и чёрного кругов прямые, параллельные этим сторонам. Пусть они пересекаются в точке 
Поскольку угол 
равный углу A, постоянен, описанная окружность 
треугольника 
не зависит от положения исходного треугольника. Прямая l, содержащая биссектрису угла проходит тогда через фиксированную точку K — середину дуги 
окружности 
C другой стороны, точки прямой l равноудалены от прямых 
и 
а серая и чёрная стороны «отодвинуты» соответственно от и 
на одно и то же расстояние в сторону точки K (так как радиусы серого и чёрного кругов равны), откуда прямая l содержит и биссектрису угла A деревянного треугольника.