РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Диагонали трапеции RSQT с основаниями RS и QT пересекаются в точке A под прямым углом. Известно, что основание RS больше основания QT и угол R прямой. Биссектриса угла RAT пересекает RT в точке U, а прямая, проходящая через точку U параллельно RS, пересекает прямую SQ в точке W. Докажите, что $UW=RT.$

Решение. Найдем выражение для $U W,$ используя равенство площадей трапеций:

$S_R T Q S=S_R U W S плюс S_U T Q W равносильно левая круглая скобка R S плюс T Q правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка T U плюс U R правая круглая скобка = левая круглая скобка R S плюс U W правая круглая скобка умножить на U R плюс левая круглая скобка U W плюс T Q правая круглая скобка умножить на T U равносильно$
$равносильно R S умножить на T U плюс T Q умножить на U R=U W умножить на левая круглая скобка U R плюс T U правая круглая скобка равносильно U W= дробь: числитель: R S умножить на T U, знаменатель: T R конец дроби плюс дробь: числитель: T Q умножить на U R, знаменатель: T R конец дроби .$ $S_R T Q S=S_R U W S плюс S_U T Q W равносильно$
$равносильно левая круглая скобка R S плюс T Q правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка T U плюс U R правая круглая скобка = левая круглая скобка R S плюс U W правая круглая скобка умножить на U R плюс левая круглая скобка U W плюс T Q правая круглая скобка умножить на T U равносильно$
$равносильно R S умножить на T U плюс T Q умножить на U R=U W умножить на левая круглая скобка U R плюс T U правая круглая скобка равносильно U W= дробь: числитель: R S умножить на T U, знаменатель: T R конец дроби плюс дробь: числитель: T Q умножить на U R, знаменатель: T R конец дроби .$ $S_R T Q S=S_R U W S плюс S_U T Q W равносильно$
$равносильно левая круглая скобка R S плюс T Q правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка T U плюс U R правая круглая скобка = левая круглая скобка R S плюс U W правая круглая скобка умножить на U R плюс левая круглая скобка U W плюс T Q правая круглая скобка умножить на T U равносильно$
$равносильно R S умножить на T U плюс T Q умножить на U R=U W умножить на левая круглая скобка U R плюс T U правая круглая скобка равносильно$
$равносильно U W= дробь: числитель: R S умножить на T U, знаменатель: T R конец дроби плюс дробь: числитель: T Q умножить на U R, знаменатель: T R конец дроби .$

Нетрудно видеть, что треугольники QAT, QTR, TAR, TRS и RAS подобны по трем углам (все они прямоугольные и, кроме того, треугольники QTA и RTQ имеют общий угол RQT, треугольники RTQ и TAR  — общий угол TRA, треугольники TAR и TRS  — общий угол TSR). Отсюда получаем, что

$дробь: числитель: A T, знаменатель: A R конец дроби = дробь: числитель: T R, знаменатель: R S конец дроби = дробь: числитель: T Q, знаменатель: T R конец дроби .$

По условию AU  — биссектриса угла A в треугольнике TAR, поэтому верно равенство

$дробь: числитель: U T, знаменатель: U R конец дроби = дробь: числитель: A T, знаменатель: A R конец дроби .$

Подставим полученные соотношения в выражение для UW:

$U W= дробь: числитель: R S, знаменатель: T R конец дроби умножить на U T плюс дробь: числитель: T Q, знаменатель: T R конец дроби умножить на U R= дробь: числитель: R S, знаменатель: T R конец дроби умножить на дробь: числитель: T R умножить на U R, знаменатель: R S конец дроби плюс дробь: числитель: T Q, знаменатель: T R конец дроби умножить на дробь: числитель: U T умножить на T R, знаменатель: T Q конец дроби =U R плюс U T=T R.$ $U W= дробь: числитель: R S, знаменатель: T R конец дроби умножить на U T плюс дробь: числитель: T Q, знаменатель: T R конец дроби умножить на U R=$
$= дробь: числитель: R S, знаменатель: T R конец дроби умножить на дробь: числитель: T R умножить на U R, знаменатель: R S конец дроби плюс дробь: числитель: T Q, знаменатель: T R конец дроби умножить на дробь: числитель: U T умножить на T R, знаменатель: T Q конец дроби =U R плюс U T=T R.$ $U W= дробь: числитель: R S, знаменатель: T R конец дроби умножить на U T плюс дробь: числитель: T Q, знаменатель: T R конец дроби умножить на U R=$
$= дробь: числитель: R S, знаменатель: T R конец дроби умножить на дробь: числитель: T R умножить на U R, знаменатель: R S конец дроби плюс дробь: числитель: T Q, знаменатель: T R конец дроби умножить на дробь: числитель: U T умножить на T R, знаменатель: T Q конец дроби =$
$=U R плюс U T=T R.$

Приведем другое решение. Обозначим через Y  — пересечение RQ и UW, а через Z  — пересечение ST и UW. Рассмотрим четырехугольник UTAY: у него углы U и A равны $90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ поэтому вокруг него можно описать окружность; а поскольку AU  — биссектриса, то $U T=U Y.$

Рассмотрим четырехугольник RUAZ: он образован двумя прямоугольными треугольниками (RUZ и RAZ), имеющими общую гипотенузу, т. е. вокруг него тоже можно описать окружность. Нетрудно видеть, что $\angle U A R=\angle U Z R,$ $\angle U R A=\angle U Z A,$ $\angle A U Z=\angle A R Z,$ а

$\angle A U Z плюс \angle A Z U=\angle U A T$

(из треугольника UAZ). Следовательно, в треугольнике RUZ равны углы ZRU и RZU, а поэтому равны и стороны UR и UZ. Осталось заметить, что $U Y=Z W,$ т. к. коэффициент подобия треугольников RUY и RTQ равен коэффициенту подобия треугольников SWZ и SQT.

Таким образом,

$U W=U Z плюс Z W=R U плюс U Y=R U плюс U T=R T.$

Ключ