Диагонали трапеции RSQT с основаниями RS и QT пересекаются в точке A под прямым углом. Известно, что основание RS больше основания QT и угол R прямой. Биссектриса угла RAT пересекает RT в точке U, а прямая, проходящая через точку U параллельно RS, пересекает прямую SQ в точке W. Докажите, что
Найдем выражение для 
используя равенство площадей трапеций:
Нетрудно видеть, что треугольники QAT, QTR, TAR, TRS и RAS подобны по трем углам (все они прямоугольные и, кроме того, треугольники QTA и RTQ имеют общий угол RQT, треугольники RTQ и TAR — общий угол TRA, треугольники TAR и TRS — общий угол TSR). Отсюда получаем, что
По условию AU — биссектриса угла A в треугольнике TAR, поэтому верно равенство
Подставим полученные соотношения в выражение для UW:
Приведем другое решение. Обозначим через Y — пересечение RQ и UW, а через Z — пересечение ST и UW. Рассмотрим четырехугольник UTAY: у него углы U и A равны 
поэтому вокруг него можно описать окружность; а поскольку AU — биссектриса, то 
Рассмотрим четырехугольник RUAZ: он образован двумя прямоугольными треугольниками (RUZ и RAZ), имеющими общую гипотенузу, т. е. вокруг него тоже можно описать окружность. Нетрудно видеть, что 
а
(из треугольника UAZ). Следовательно, в треугольнике RUZ равны углы ZRU и RZU, а поэтому равны и стороны UR и UZ. Осталось заметить, что 
т. к. коэффициент подобия треугольников RUY и RTQ равен коэффициенту подобия треугольников SWZ и SQT.
Таким образом,
