РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 7405 Добавить в вариант

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Набор из 35 прямоугольников, не являющихся квадратами, длины сторон которых являются целыми числами, таков, что из них можно составить 9 квадратов размера 10 см на 10 см. Докажите, что из прямоугольников этого набора можно составить два прямоугольника, площади которых различаются не более, чем 80 см². В обоих случаях используются все прямоугольники набора.

Решение. Прямоугольников в наборе всего 35 , поэтому как минимум один из 9 квадратов 10 на 10 будет составлен не более, чем из трёх прямоугольников (и, по условию, не менее, чем из двух). Квадрат имеет 4 вершины, поэтому минимум две из них будут принадлежать одному из этих прямоугольников. значит, длина одной из его сторон равна 10 см, а другая целочисленная и равна x, где $1 меньше или равно x меньше или равно 9,$ так как этот прямоугольник меньше квадрата. Сложим из оставшихся прямоугольников два равных прямоугольника размера 10 см на 40 см (это по 4 квадрата 10 на 10, всего 8 штук), прямоугольник размера 10 на x приложим к одному из них, а остаток от квадрата, имеющий размер 10 на $10 минус x$   — к другому. Разность их площадей равна

$10 левая круглая скобка 40 плюс x правая круглая скобка минус 10 левая круглая скобка 40 плюс 10 минус x правая круглая скобка =10 левая круглая скобка 2 x минус 10 правая круглая скобка ,$

что по модулю не больше 80, так как $1 меньше или равно x меньше или равно 9.$

Критерии проверки:

Показано, что как минимум один из 9 квадратов 10 на 10 будет составлен не более, чем из 3 прямоугольников: 1 балла.

Доказано, что найдётся прямоугольник со стороной 10 см: 2 балла.

Доказано, что вторая сторона этого прямоугольника имеет длину x, где $1 меньше или равно x меньше или равно 9:$ 1 балл.

Схема построения прямоугольников, площади которых различаются не более, чем $80 см в квадрате :$ 2 балла.

Явное доказательство того, что при этой схеме разность площадей

Олимпиада: Всесибирская олимпиада школьников

Класс: 10

Тур: 1 тур (отборочный)

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Год: 2022

Ключ