PDF-версии: 
Через вершину M некоторого угла, проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках N и K, а биссектрису этого угла — в точке L. Найдите сумму длин отрезков MN и MK если площадь MNLK равна 25, а угол LMN равен 30°.
Решение. Пусть LP и LQ — перпендикуляры к MN и MK соответственно. Точка L лежит на биссектрисе угла и, следовательно, равноудалена от сторон угла, а значит
Прямоугольные треугольники NPL и LQK равны (по катету и гипотенузе), а также равны прямоугольные треугольники MPL и MQL (аналогично, по катету и гипотенузе). С одной стороны,
С другой стороны,
Таким образом, имеем:
Ответ: 
Критерии проверки:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Ответ:
7784