РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7784 Добавить в вариант

Через вершину M некоторого угла, проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках N и K, а биссектрису этого угла  — в точке L. Найдите сумму длин отрезков MN и MK если площадь MNLK равна 25, а угол LMN равен 30°.

Спрятать решение

Решение.

Пусть LP и LQ  — перпендикуляры к MN и MK соответственно. Точка L лежит на биссектрисе угла и, следовательно, равноудалена от сторон угла, а значит $LP=LQ.$ Прямоугольные треугольники NPL и LQK равны (по катету и гипотенузе), а также равны прямоугольные треугольники MPL и MQL (аналогично, по катету и гипотенузе). С одной стороны,

$M N плюс M K=M P плюс P N плюс M K=M P плюс K Q плюс M K=M P плюс M Q=2 M P .$

С другой стороны,

$25=S_M N L K=S_M P L плюс S_M Q L=2 S_M P L=M P умножить на P L=M P в квадрате умножить на тангенс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: M P в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби \Rightarrow M P=5 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $25=S_M N L K=S_M P L плюс S_M Q L=2 S_M P L=M P умножить на P L=M P в квадрате умножить на тангенс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: M P в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow M P=5 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Таким образом, имеем:

$\quad M N плюс M K=2 M P=10 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: $10 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь