РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8259 Добавить в вариант

Окружность с центром O касается прямых AB и BC в точках A и C соответственно. Высота CH треугольника ABC пересекает эту окружность в точках C и D. Найдите отношение $дробь: числитель: AB, знаменатель: CH конец дроби$ если площадь треугольника ABD равна 6, а радиус окружности равен 4.

Спрятать решение

Решение.

Пусть отрезки BO и AC пересекаются в точке N. Так как треугольник ABC равнобедренный, а BO является биссектрисой угла B, то биссектриса BN треугольника ABC является также его медианой и высотой. Пусть $\angle A O N= альфа .$ Поскольку $O A \| C H,$ то $\angle A C H= альфа .$ Отметим, что этот угол вписан в окружность и опирается на дугу AD, поэтому $A D=2 альфа .$ По теореме об угле между касательной и секущей $\angle D A H= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A D= альфа .$ Кроме того,

$\angle A B O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A O B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка = альфа .$

Далее имеем:

$\begingathered A B=A O \ctg альфа =4 \ctg альфа ; A N=A O косинус альфа =4 косинус альфа ; A C=2 A N=8 косинус альфа ; A H=A C синус альфа =8 косинус альфа синус альфа ; D H=A H тангенс альфа =8 синус в квадрате альфа ; C H=A C косинус альфа =8 косинус в квадрате альфа ; дробь: числитель: AB, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: 4 \ctg альфа , знаменатель: 8 \ctg в квадрате альфа конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 синус альфа косинус альфа конец дроби ; S_ A B D= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на A B умножить на D H= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 \ctg альфа умножить на 8 синус в квадрате альфа =16 косинус альфа синус альфа . \endgathered$

Так как по условию площадь треугольника ABD равна 6, отсюда получаем $синус альфа косинус альфа = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ,$ и искомое отношение $дробь: числитель: AB, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найдена одна пара подобных треугольников, а других существенных продвижений нет  — 1 балл за задачу;

показано подобие трёх прямоугольных треугольников  — 3 балла;

найдено отношение  — 2 балла.

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь