Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках E и D. Точка Y — основание перпендикуляра, опущенного из точки E на AB, а X— вторая точка пересечения EY со вписанной окружностью треугольника ABC. Найдите радиус этой окружности, если площадь треугольника AXD равна 12, а 5AD = 6EY.
Пусть O — центр окружности. Обозначим 
Так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то 
Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны между собой, следовательно, 
и
Из прямоугольного треугольника DEY имеем 
Также отметим, что 
равен половине дуги DX как угол между касательной и хордой, а 
равен половине этой же дуги как вписанный угол, на неё опирающийся, т. е. 
Из полученного выше равенства углов следует, что треугольники AOD, DXY, EDY подобны (они прямоугольные с острым углом, равным α). Из этого подобия следует, что 
Из второго равенства
Но тогда из первого соотношения следует, что
Ответ: 