РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Даны равнобокая трапеция ABCD (AD и BC  — основания, AD > BC) и окружность ω с центром C, касающаяся стороны AD. Касательные к ω проведённые из точки B, пересекают прямую AD в точках P и Q (точка P лежит между Q и D). На продолжении стороны CB за точку B выбрана точка N так, что $\angle C P N$   — прямой. Найдите углы ADC, NQC и площадь четырёхугольника NCDQ, если известно, что $\angle N C P= арктангенс дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $A P= дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби$ и $NC=13.$

Решение. Обозначим данный в условии угол NCP через ψ. Тогда $\angle C P D=\angle N C P=\psi$ (накрест лежащие при параллельных прямых); $\angle B P C=\angle C P D=\psi$ (окружность $\omega$ вписана в угол BPD и её центр C лежит на биссектрисе этого угла); $\angle N B P=\angle B C P плюс \angle B C P=2 \psi$ (теорема о внешнем угле треугольника);

$\angle B P N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B P C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \psi ;$

$\angle B N P=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B P N минус \angle N B P=\psi.$

Отсюда следует, что треугольники BPC и BPN равнобедренные и $N B=B P=B C.$ Значит, $N B=B P=B C= дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби .$

Далее заметим, что $\angle B Q P=\angle T B C=\angle P B C=\angle B P Q$ (здесь T  — точка касания прямой BQ и окружности; первое и последнее равенства следуют из параллельности прямых BC и AD а второе  — из того, что окружность вписана в угол TBP). Выходит, что треугольник BPQ равнобедренный, и поэтому $B Q=B P= дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, в треугольнике NQC медиана QB равна половине стороны CN, к которой она проведена  — значит, треугольник NQC прямоугольный, $\angle N Q C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Из условия следует, что ABCP  — параллелограмм, откуда $\angle B A P=\angle B C P=\psi.$ Кроме того, трапеция ABCD равнобедренная, поэтому

$\angle A D C=\angle B A P=\psi= арктангенс дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Пусть CH  — высота трапеции. Рассматривая равнобедренные треугольники BCP и CPD, получаем

$C P=2 B C косинус \psi;$

$C H=C P синус \psi=2 B C синус \psi косинус \psi= дробь: числитель: 2 B C синус \psi косинус \psi, знаменатель: косинус в квадрате \psi плюс синус в квадрате \psi конец дроби = дробь: числитель: 2 B C тангенс \psi, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате \psi конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

Из равенства треугольников BNQ и BPC (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\angle B N Q=\psi,$ поэтому четырёхугольник NCDQ  — параллелограмм $левая круглая скобка N C \| D Q,$ $\angle C N Q=\angle C D Q правая круглая скобка$ с основанием $CN=13.$ Его площадь равна $C N умножить на C H=60.$

Ответ: $\angle ADC = арктангенс дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $\angleNQC=90 градусов ,$ $S_NCDQ=60.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	8312	$\angle ADC = арктангенс дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $\angleNQC=90 градусов ,$ $S_NCDQ=60.$

Ключ