Даны равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — основания, AD > BC) и окружность ω с центром C, касающаяся стороны AD. Касательные к ω проведённые из точки B, пересекают прямую AD в точках P и Q (точка P лежит между Q и D). На продолжении стороны CB за точку B выбрана точка N так, что 
—
и 
Обозначим данный в условии угол NCP через ψ. Тогда 
(накрест лежащие при параллельных прямых); 
(окружность 
вписана в угол BPD и её центр C лежит на биссектрисе этого угла); 
(теорема о внешнем угле треугольника);
Отсюда следует, что треугольники BPC и BPN равнобедренные и 
Значит, 
Далее заметим, что 
(здесь T — точка касания прямой BQ и окружности; первое и последнее равенства следуют из параллельности прямых BC и AD а второе — из того, что окружность вписана в угол TBP). Выходит, что треугольник BPQ равнобедренный, и поэтому 
Следовательно, в треугольнике NQC медиана QB равна половине стороны CN, к которой она проведена — значит, треугольник NQC прямоугольный, 
Из условия следует, что ABCP — параллелограмм, откуда 
Кроме того, трапеция ABCD равнобедренная, поэтому
Пусть CH — высота трапеции. Рассматривая равнобедренные треугольники BCP и CPD, получаем
Из равенства треугольников BNQ и BPC (по двум сторонам и углу между ними) следует, что 
поэтому четырёхугольник NCDQ — параллелограмм 
с основанием 
Его площадь равна 
Ответ: 
