Ре­ше­ние. Из усло­вия, точки O и Q лежат на сре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре от­рез­ка AB, тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, ту­по­уголь­ный, с углом α при ос­но­ва­нии, по­лу­ча­ем или тогда Вве­дем обо­зна­че­ния: r  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти; R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти;

По свой­ству бис­сек­три­сы BQ:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BMO:

Объ­еди­няя (1) и (2), по­лу­чим урав­не­ние для опре­де­ле­ния

Пусть тогда урав­не­ние при­мет вид

Вы­ра­зим q из по­след­не­го урав­не­ния

Гра­фик за­ви­си­мо­сти q(x) изоб­ра­жен на ри­сун­ке. Для лю­бо­го най­дет­ся един­ствен­ный удо­вле­тво­ря­ю­щий по­след­не­му урав­не­нию.

Ответ: углы при вер­ши­нах A и B равны угол при вер­ши­не C равен