Точки O и Q — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC соответственно. Прямая AB пересекает отрезок OQ в точке M так, что 
Найти углы треугольника ABC, если известно, что Q равноудалена от точек A и B.
Из условия, точки O и Q лежат на срединном перпендикуляре отрезка AB, треугольник ABC равнобедренный, тупоугольный, с углом α при основании, получаем
или 
тогда 
Введем обозначения: r — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности; 
По свойству биссектрисы BQ:
Из прямоугольного треугольника BMO:
Объединяя (1) и (2), получим уравнение для определения 
Пусть 
тогда уравнение примет вид
Выразим q из последнего уравнения
График зависимости q(x) изображен на рисунке. Для любого 
найдется единственный 
удовлетворяющий последнему уравнению.
Ответ: углы при вершинах A и B равны 
угол при вершине C равен 