Прямолинейная дорога, включенная в геологический маршрут, проходит по пустыне до оазиса в точке O, где она поворачивает под прямым углом. Геолог из оазиса может двигаться по дороге со скоростью не более 6 км/ч или по пустыне со скоростью не более 3 км/ч. Найти геометрическое место точек, в которые геолог сможет попасть за 1 час.
При движении только по пустыне геолог не выйдет за пределы круга радиуса 3 с центром в точке О. При движении только по дороге он может пройти либо отрезок ОA, либо отрезок OE длины 6 км. Проведем из точки A касательную к границе круга. В прямоугольном треугольнике OAB катет OB равен половине гипотенузы OA, следовательно,
Пусть геолог движется по дороге в течение времени t, a затем - по пустыне в течение времени 
Обозначим точку, в которой геолог свернул с дороги D. Тогда 
Радиус круга с центром в точке D равен 
— максимальное расстояние, на которое можно удалиться по пустыне от точки D за время Прямоугольный треугольник OAB подобен DAC так как 
Таким образом, AB является касательной к границе круга с центром в переменной точке D для любого t.
Ответ: на рисунке.