PDF-версии: 
В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую. Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
Решение. Пусть треугольник ABC — наш треугольник с прямым углом B, точка O — центр его описанной окружности, точки M и N — точки касания вписанной окружности с катетами AB и BC, точки X и Y — середины дуг AB и BC соответственно. Достаточно доказать, что точки M и N лежат на прямой XY. Опустим из точки O перпендикуляры OS и OT на катеты AB и BC и продлим перпендикуляры до пересечения с описанной окружностью в точках X и Y соответственно. Пусть a, b, c — длины касательных из точек A, B, C к вписанной окружности.
Треугольник XOY — равнобедренный и прямоугольный. Заметим, что
—
откуда
а значит, и M
Приведем другое решение.
Пусть точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC 
Точки касания вписанной окружности с катетами, очевидно, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку IC. По известной лемме о трезубце на этом же серединном перпендикуляре лежат середины K и L дуг AC и BC. Очевидно, дуга KL равна 45°.
Приведем еще одно решение.
Воспользуемся так называемой Задачей 255: Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Тогда проекция K точки C на биссектрису угла BAC лежит на прямой MN.
Пусть точка P — проекция точки A на биссектрису угла C, точка Q — проекция точки C на биссектрису угла A. По Задаче 255 точки P и Q лежат на прямой MN. Так как 
то точки P и Q совпадают соответственно с точками X и Y. Значит, отрезок PQ — искомая хорда. Так как лучи AQ и CP — биссектрисы, то точки P и Q — середины дуг AB и BC соответственно. Тогда центральный угол окружности, опирающийся на хорду PQ, прямой, и поэтому 
Приведем последнее решение.
Обозначения те же, что в предыдущем решении, а данная хорда обозначается XY (точки на прямой MN идут в 
(а не 
), тогда 
Выразив двумя способами площадь треугольника ABC (как 
и как pr), получим
Запишем степень точки M относительно окружности: 
(тот же результат можно получить, записав подобие треугольников MXA и MBY) и степень точки N: 
Теперь подставляем a и b:
Так как 
получаем
откуда 
Подставляем полученное значение:
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
Ответ: 
| Критерий | Оценка |
|---|---|
| Только верный ответ | −. |
| Только гипотеза, что прямая из условия проходит через середины меньших дуг, стягиваемых катетами | − / + |