Пусть тре­уголь­ник ABC  — наш тре­уголь­ник с пря­мым углом B, точка O  — центр его опи­сан­ной окруж­но­сти, точки M и N  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти с ка­те­та­ми AB и BC, точки X и Y  — се­ре­ди­ны дуг AB и BC со­от­вет­ствен­но. До­ста­точ­но до­ка­зать, что точки M и N лежат на пря­мой XY. Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ля­ры OS и OT на ка­те­ты AB и BC и про­длим пер­пен­ди­ку­ля­ры до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной окруж­но­стью в точ­ках X и Y со­от­вет­ствен­но. Пусть a, b, c  — длины ка­са­тель­ных из точек A, B, C к впи­сан­ной окруж­но­сти.

Тре­уголь­ник XOY  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный. За­ме­тим, что

Если точка   — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой XY с ка­те­том AB, то от­ку­да

а зна­чит, точки и M сов­па­да­ют. Ана­ло­гич­но, точка N лежит на пря­мой XY.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть точка I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC Точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти с ка­те­та­ми, оче­вид­но, лежат на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку IC. По из­вест­ной лемме о тре­зуб­це на этом же се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре лежат се­ре­ди­ны K и L дуг AC и BC. Оче­вид­но, дуга KL равна 45°.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся так на­зы­ва­е­мой За­да­чей 255: Пусть впи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся его сто­рон AB и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Тогда про­ек­ция K точки C на бис­сек­три­су угла BAC лежит на пря­мой MN.

Пусть точка P  — про­ек­ция точки A на бис­сек­три­су угла C, точка Q  — про­ек­ция точки C на бис­сек­три­су угла A. По За­да­че 255 точки P и Q лежат на пря­мой MN. Так как то точки P и Q сов­па­да­ют со­от­вет­ствен­но с точ­ка­ми X и Y. Зна­чит, от­ре­зок PQ  — ис­ко­мая хорда. Так как лучи AQ и CP  — бис­сек­три­сы, то точки P и Q  — се­ре­ди­ны дуг AB и BC со­от­вет­ствен­но. Тогда цен­траль­ный угол окруж­но­сти, опи­ра­ю­щий­ся на хорду PQ, пря­мой, и по­это­му

При­ве­дем по­след­нее ре­ше­ние.

Обо­зна­че­ния те же, что в преды­ду­щем ре­ше­нии, а дан­ная хорда обо­зна­ча­ет­ся XY (точки на пря­мой MN идут в по­ряд­ке X–M–N–Y). Пусть точка L  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AC. Пусть (а не ), тогда

Вы­ра­зив двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC (как и как pr), по­лу­чим

За­пи­шем сте­пень точки M от­но­си­тель­но окруж­но­сти: (тот же ре­зуль­тат можно по­лу­чить, за­пи­сав по­до­бие тре­уголь­ни­ков MXA и MBY) и сте­пень точки N: Те­перь под­став­ля­ем a и b:

Так как по­лу­ча­ем

от­ку­да Под­став­ля­ем по­лу­чен­ное зна­че­ние:

Сле­до­ва­тель­но, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: