Вне прямоугольного треугольника АВС на его катетах AC и BC построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы СМ треугольника ABC пересекает прямую DF в точке N. Найдите длину отрезка CN, если длины катетов равны 1 и 4.
Введем систему координат с началом в точке C, осью абсцисс СА и осью ординат CB. Тогда
и точка 
—
уравнение прямой (CM) есть 
Пусть уравнение прямой (FD): 
Из треугольника FCD следует, что 
и (FD): 
Координаты точки N должны удовлетворять следующей системе:
Ответ: 
Приведём другое решение.
Треугольники DCF и ACB равны по по двум сторонам и углу между ними. Пусть 
Тогда 
По свойству медианы прямоугольного треугольника, 
следовательно, треугольник AMC — равнобедренный, следовательно, 
Тогда 
как вертикальные, поэтому
Так как 
то 
Тогда по теореме о сумме углов треугольника (NCD) 
то есть CN — высота прямоугольного треугольника FCD, значит,
