Дан неравнобедренный треугольник ABC. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности треугольника ABC внутренним образом в точке B и не пересекающую прямую AC. Отметим на ω точки P и Q так, чтобы прямые AP и CQ касались ω, а отрезки AP и СQ пересекались внутри треугольника ABC. Докажите, что все полученные таким образом прямые РQ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности.
Пусть R — точка пересечения касательных AP и CQ. Докажем, что все прямые PQ проходят через точку D — основание внешней биссектрисы угла B треугольника ABC (точка D существует, так как треугольник неравнобедренный). По теореме, обратной к теореме Менелая, для треугольника ARC, достаточно проверить, что 
Поскольку RQ и PR равны как касательные, достаточно проверить равенство 
Но 
по свойству внешней биссектрисы, так что проверяем равенство 
Пусть AB и BC пересекают окружность ω в точках X и Y соответственно. Запишем степени точек A и C относительно окружности ω:
Это равенство следует из того, что 
касается описанной окружности треугольника ABC в точке B.