РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8723 Добавить в вариант

На боковых сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC, наружу построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABD и BCF с катетами равными соответствующим сторонам AB и BC треугольника ABC. Прямые FB и DC пересекаются в точке M, а FA и BC  — в точке N. Найдите градусную меру $\angle B M N.$

Спрятать решение

Решение.

Треугольники ABF и DBC равны по двум сторонам $A B=B D,$ $C B=B F$ и углу между ними

$\angle A B F=\angle C B D=\angle C B A плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle B A F=\angle B D C$

и $\angle B F A=\angle B C D .$

Сумма углов треугольника ABC:

$\angle A B C плюс \angle B C P плюс \angle B A P плюс \angle P A C плюс \angle P C A=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

но так как $\angle B A P=\angle B A F=\angle B D C,$ то

$\angle A B C плюс \angle B C P плюс \angle B A P=\angle A B C плюс \angle B C P плюс \angle B D C.$

По теореме о сумме углов треугольника BCD, получаем

$\angle A B C плюс \angle B C P плюс \angle B D C плюс \angle DBA =\angle A B C плюс \angle B C P плюс \angle B D C плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow \angle A B C плюс \angle P A C плюс \angle P C A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow \angle C P A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow \angle C P F=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle A B C плюс \angle B C P плюс \angle B D C плюс \angle DBA =\angle A B C плюс \angle B C P плюс \angle B D C плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow \angle A B C плюс \angle P A C плюс \angle P C A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow \angle C P A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow \angle C P F=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Рассмотрим треугольник MCF. В нем CB и FP  — высоты, а N  — их точка пересечения. Продолжим MN до пересечения с FC в точке E, следовательно, ME  — его третья высота, то есть $M E \perp C F.$ Так как треугольник CBF  — прямоугольный и равнобедренный, то $\angle B F C=\angle M F E=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ поэтому

$\angle B M N=\angle F M E=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 45 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 45°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии выставления
20	Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи
10	При верном и обоснованном ходе решения разобраны не все варианты или решение недостаточно обосновано
5	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты (обосновано и правильно расставлены точки M, N и K), дальнейшее решение неверно или отсутствует
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям

Олимпиада Шаг в будущее, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь