PDF-версии: 
Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
Решение. а) Пусть изначальный треугольник имеет вершины A, B, C, а вписанный в него — вершины 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
1) Скорее всего имелся в виду параллельность EF и AC. Тогда
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам,
и
По теореме синусов для треугольника AED получаем
Значит
2) Прямые EF и AC параллельны. Опустим из D перпендикуляры DH и DK на AB и BC соответственно. Тогда одна из точек E и F попадет на отрезок соответственно AH и CK, а вторая — нет. Пусть, для определенности, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. Обозначим также
тогда
откуда
Тогда
то есть второй случай возможен только при 
Далее,
поэтому 
и
поэтому определить ответ однозначно в этом случае невозможно. Можно лишь дать границы для ответ — 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
б) Обозначив через a боковую сторону равнобедренного треугольника (см. рис.), по теореме синусов
откуда 
и
в) Чтобы упростить исследование функции 
удобно сделать замену 
при 
откуда 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |