Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
а) Пусть изначальный треугольник имеет вершины A, B, C, а вписанный в него — вершины 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
1) Скорее всего имелся в виду параллельность EF и AC. Тогда
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам,
и
По теореме синусов для треугольника AED получаем
Значит
2) Прямые EF и AC параллельны. Опустим из D перпендикуляры DH и DK на AB и BC соответственно. Тогда одна из точек E и F попадет на отрезок соответственно AH и CK, а вторая — нет. Пусть, для определенности, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. Обозначим также
тогда
откуда
Тогда
то есть второй случай возможен только при 
Далее,
поэтому 
и
поэтому определить ответ однозначно в этом случае невозможно. Можно лишь дать границы для ответ — 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
б) Обозначив через a боковую сторону равнобедренного треугольника (см. рис.), по теореме синусов
откуда 
и
в) Чтобы упростить исследование функции 
удобно сделать замену 
при 
откуда 