PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите число решений уравнения 
лежащих на отрезке 
в зависимости от действительного параметра a.
в) Найдите множество значений функции f.
Решение. а) Перепишем уравнение в виде 
и обозначим 
Получим 
или 
получим 
или 
Вернёмся к замене переменной
б) Найдите число решений уравнения лежащих на отрезке в зависимости от действительного параметра a.
Перепишем уравнение в виде 
и обозначим Ясно, что при 
получим 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x и наоборот. Значит, нужно исследовать вопрос о количестве решений уравнения
на отрезке 
Построим график функции 
Это будет парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной при
причем 
Далее, 
Проводя горизонтальную прямую 
и изучая количество общих точек этой прямой и параболы при получаем ответ.
в) Найдите множество значений функции f.
Ясно, что 
принимает все значения из промежутка 
и только их. Если разрешить 
то наибольшее значение функции 
по-прежнему будет при 
а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть либо 
либо 
Поэтому ответ 
Ответ:
а) 
б) решений нет при 
и 
одно решение при 
два решения при 
в) 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б) решений нет при и одно решение при два решения при
в)
а)
б) решений нет при и одно решение при два решения при
в)