сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 2x плюс синус x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

б)  Най­ди­те число ре­ше­ний урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a, ле­жа­щих на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , в за­ви­си­мо­сти от дей­стви­тель­но­го па­ра­мет­ра a.

в)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде 1 минус 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x=1 и обо­зна­чим синус x=t. По­лу­чим минус 2t в квад­ра­те плюс t=0 или t левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, по­лу­чим t=0 или t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Вернёмся к за­ме­не пе­ре­мен­ной

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x=0, синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z

б)  Най­ди­те число ре­ше­ний урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a, ле­жа­щих на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , в за­ви­си­мо­сти от дей­стви­тель­но­го па­ра­мет­ра a.

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде 1 минус 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x=a и обо­зна­чим синус x=t. Ясно, что при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка по­лу­чим t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , при­чем каж­до­му та­ко­му t со­от­вет­ству­ет ровно одно x и на­о­бо­рот. Зна­чит, нужно ис­сле­до­вать во­прос о ко­ли­че­стве ре­ше­ний урав­не­ния минус 2t в квад­ра­те плюс t плюс 1=a на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­стро­им гра­фик функ­ции f_1 левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2t в квад­ра­те плюс t плюс 1. Это будет па­ра­бо­ла с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз и вер­ши­ной при

t= дробь: чис­ли­тель: минус 1, зна­ме­на­тель: минус 2 умно­жить на 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

при­чем f_1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 . Далее, f_1 левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, f_1 левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =1. Про­во­дя го­ри­зон­таль­ную пря­мую y=a и изу­чая ко­ли­че­ство общих точек этой пря­мой и па­ра­бо­лы при t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­лу­ча­ем ответ.

в)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f.

Ясно, что синус x при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и толь­ко их. Если раз­ре­шить t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции минус 2t в квад­ра­те плюс t плюс 1 по-преж­не­му будет при t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , а наи­мень­шее - в одном из кон­цов от­рез­ка, то есть либо f_1 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2, либо f_1 левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1. По­это­му ответ f_1 левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ:

а)   левая фи­гур­ная скоб­ка Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

б)  ре­ше­ний нет при a мень­ше 0, и a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , одно ре­ше­ние при a= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , два ре­ше­ния при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ;

в)   левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024