PDF-версии: 
Дана функция 
Пусть 
Обозначим через 
сумму площадей двух криволинейных треугольников, ограниченных графиком функции f, вертикальными прямыми 
и горизонтальной прямой, проходящей через точку графика с абсциссой 
а) Получите явную формулу для функции 
б) Найдите точку минимума функции S.
в) Выполните пункт б) в случае, если 
Решение. a) Обозначим через сумму площадей двух криволинейных треугольников, ограниченных графиком функции f, вертикальными прямыми и горизонтальной прямой, проходящей через точку графика с абсциссой
б) Найдите точку минимума функции S.
Из рисунка видно, что сумма площадей этих двух треугольников при 
может быть вычислена как разность площади A криволинейного треугольника, образованного прямыми 
и графиком функции и площади прямоугольника с вертикальной стороной 
и горизонтальной 
то есть 
Тогда
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, убывает при 
и возрастает при 
Поэтому 
— Вычислять A не обязательно, хотя на самом деле 
в) Выполните пункт б) в случае, если
Поскольку 
и функция 
возрастает на 
картинка выглядит примерно так же, как в предыдущем пункте и все наши утверждения остаются верными, кроме конкретного значения A, которое все так же можно не искать.
Будем решать более общую задачу, предполагая что функция f монотонно возрастает на имеет производную на этом отрезке и 
Имеем (см. рис.):
если 
то 
Дифференцируя, получаем
— точка минимума функции S.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |