PDF-версии: 
Многочлены Чебышева первого рода определены формулой
а) Докажите, что 
б) Докажите, что 
— многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
в) Найдите 
и докажите, что для любого квадратного трехчлена 
выполняется неравенство
Решение. а) Положим для краткости
б) Доказательство проводится методом математической индукции с использованием рекуррентного соотношения, выведенного в предыдущем пункте. — многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
Докажем утверждение по индукции. База. 
Переход. Пусть утверждение верно при 
Докажем его при 
тогда
Итак,
Поэтому степень 
получается увеличением на 1 степени 
а старший коэффициент многочлена 
получается умножением на 2 старшего коэффициента многочлена 
Поскольку
не изменится при переходе к 
в) Имеем: 
и
тогда 
следовательно, надо доказать, что при любых a, b верно неравенство
Далее, имеем:
Поскольку при всех a справедливо неравенство 
то хотя бы одно из этих чисел не меньше единицы. Если 
то хотя бы одно из чисел 
не меньше 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |