Многочлены Чебышева первого рода определены формулой
а) Докажите, что 
б) Докажите, что 
— многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
в) Найдите 
и докажите, что для любого квадратного трехчлена 
выполняется неравенство
а) Положим для краткости
б) Доказательство проводится методом математической индукции с использованием рекуррентного соотношения, выведенного в предыдущем пункте. — многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
Докажем утверждение по индукции. База. 
Переход. Пусть утверждение верно при 
Докажем его при 
тогда
Итак,
Поэтому степень 
получается увеличением на 1 степени 
а старший коэффициент многочлена 
получается умножением на 2 старшего коэффициента многочлена 
Поскольку
не изменится при переходе к 
в) Имеем: 
и
тогда 
следовательно, надо доказать, что при любых a, b верно неравенство
Далее, имеем:
Поскольку при всех a справедливо неравенство 
то хотя бы одно из этих чисел не меньше единицы. Если 
то хотя бы одно из чисел 
не меньше 