РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 28 № 965 Добавить в вариант

Решите неравенства:

а)   $\dfracx минус 22 корень из x минус 3 меньше или равно 1;$

б)   $\dfrac логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию x 4 логарифм по основанию x левая круглая скобка x в квадрате /\!8 правая круглая скобка \leqslant2.$

в)  Докажите, что уравнение $2 косинус 2x=k левая круглая скобка 4 косинус x минус 3 правая круглая скобка$ имеет решения при любых целых k.

Спрятать решение

Решение.

а)   Сделав замену $t= корень из x ,$ получим неравенство $дробь: числитель: t в квадрате минус 2, знаменатель: 2t минус 3 конец дроби \leqslant1,$ которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: t в квадрате минус 2, знаменатель: 2t минус 3 конец дроби$ (см. рисунок). Ясно, что неравенство $f левая круглая скобка t правая круглая скобка \leqslant1$ выполняется при $t меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ значит, $0 меньше или равно x меньше дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

б)  Замена $t= логарифм по основанию 2 x$ приводит к неравенству $дробь: числитель: t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби , знаменатель: 2 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t конец дроби конец дроби \leqslant2$ или $дробь: числитель: t в квадрате минус 2, знаменатель: 2t минус 3 конец дроби \leqslant2,$ где $t не равно 0,$ т. е. к неравенству, в правой части которого стоит значение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка$ (см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что $t меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ или $t=2$ или $t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка ,$ откуда и следует ответ.

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 корень из 2 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка .$

в)  Аналогично предыдущим пунктам, сделав замену $t=2 косинус x,$ получим уравнение $t в квадрате минус 2=k левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка$ или $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =k.$ Множеством значений $левая фигурная скобка f левая круглая скобка t правая круглая скобка правая фигурная скобка$ при $|t|\leqslant2$ является объединение лучей $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$ (см. рис.), которое содержит все целые числа.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства логарифмические, Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства рациональные, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь