PDF-версии: 
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1, L — точка пересечения отрезков B1C1 и AA1, K — точка пересечения отрезков B1A1 и CC1. Найдите отношение 
если M — точка пересечения биссектрисы 
с отрезком LK, и 
Решение. По условию 
обозначим: 
Проведем прямые: LL1 параллельно BB1 и KK1 параллельно BB1, при 
и 
По теореме Фалеса и по свойствам биссектрис имеем соотношения:
или
тогда
откуда 
Поскольку 
то треугольники BL1L и BK1K подобны, 
Следовательно, BM — биссектриса треугольника LBK, то есть 
По теореме Менелая для треугольника ABO, имеем
Так как треугольники ALL1 и AOB подобны, то
Аналогично,
Таким образом,
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Не выполнен ни один пункт, приведенный ниже, и/или просто записан верный ответ | 0 |
| Доказано, что BM — биссектриса треугольника LBK | 4 |
| Получены верные отношения длин отрезков, которые необходимы для решения задачи | 8 |
| При решении задачи допущена вычислительная ошибка при верных рассуждениях | 12 |
| Приведено полностью обоснованное решение, получен верный ответ | 16 |
Ответ:
9690