Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1, L — точка пересечения отрезков B1C1 и AA1, K — точка пересечения отрезков B1A1 и CC1. Найдите отношение 
если M — точка пересечения биссектрисы 
с отрезком LK, и 
Решение.
Спрятать критерииПо условию 
обозначим: 
Проведем прямые: LL1 параллельно BB1 и KK1 параллельно BB1, при 
и 
По теореме Фалеса и по свойствам биссектрис имеем соотношения:
или
тогда
откуда 
Поскольку 
то треугольники BL1L и BK1K подобны, 
Следовательно, BM — биссектриса треугольника LBK, то есть 
По теореме Менелая для треугольника ABO, имеем
Так как треугольники ALL1 и AOB подобны, то
Аналогично,
Таким образом,
Ответ: 
?
Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год