РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9695 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число m, при котором выражение $148 в степени n плюс m умножить на 141 в степени n$ делится на 2023 при любом нечетном натуральном n.

Спрятать решение

Решение.

Разложим 2023 на множители: $2023 = 7 умножить на 289,$ $НОД левая круглая скобка 7; 289 правая круглая скобка = 1.$ Поскольку n  — нечетное число, то

$148 в степени n плюс m умножить на 141 в степени n = левая круглая скобка 289 минус 141 правая круглая скобка в степени n плюс m умножить на 141 в степени n = 289l плюс левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка 141 в степени n , l принадлежит ?.$

Тогда $левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка 141 в степени n$ должно делиться на 289. Поскольку 289 и 141 взаимно просты, то $m минус 1=289 k, k принадлежит левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup ?.$ С другой стороны,

$148 в степени n плюс m умножить на 141 в степени n = 148 в степени n плюс m умножить на левая круглая скобка 148 минус 7 правая круглая скобка в степени n = 7 p плюс левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка 148 в степени n , p принадлежит ?.$

Поскольку 7 и 148 взаимно просты, то $m плюс 1=7 s, s принадлежит ?.$ Тогда $m=289 k плюс 1$ и $m=7 s минус 1,$ и

$289 k плюс 1=7 s минус 1,$ $289 k плюс 2=7 s,$ $287 k плюс 2 k плюс 2=7 s,$ $2 k плюс 2=7 левая круглая скобка s минус 41 k правая круглая скобка .$

Число $левая круглая скобка s минус 41 k правая круглая скобка =2 q, q принадлежит ?,$ и $k=7 q минус 1,$ $k больше или равно 6.$ При k  =  6 имеем $m = 289 умножить на 6 плюс 1 = 1735,$ и s  =  248.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии	Баллы
Не выполнен ни один пункт, приведенный ниже	0
Число 2023 разложено на взаимно простые множители. Получены условия на m, при которых заданное выражение делится на эти множители	4
Установлена связь между условиями, полученными в пункте выше	8
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка	12
Приведено полностью обоснованное решение, получен верный ответ	16

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь