сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Функ­ция f за­да­на, не­пре­рыв­на и f левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при всех x при­над­ле­жит \Bbb R.

а)  До­ка­жи­те, что ин­те­грал при­над­ле­жит t_t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx не за­ви­сит от t. Пред­по­ло­жим до­пол­ни­тель­но, что функ­ция f по­ло­жи­тель­на. Пусть

F левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 1 \dfracf левая круг­лая скоб­ка x плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

б)  До­ка­жи­те, что F левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1.

в)  Най­ди­те все дей­стви­тель­ные альфа , при ко­то­рых F левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем:

при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни t f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t_t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

Далее,

при­над­ле­жит t_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни t f левая круг­лая скоб­ка u плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка du= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни t f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx

в силу пе­ри­о­дич­но­сти функ­ции f, зна­чит, при­над­ле­жит t_t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

б)  Имеем:

при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx = при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx плюс при­над­ле­жит t_ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби в сте­пе­ни 1 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx=

= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx\geqslant при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 2dx=1.

в)  По­ка­жем вна­ча­ле, что не­ра­вен­ство спра­вед­ли­во при альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби , где n  — на­ту­раль­ное число. Имеем сумму:

при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx= \sum_k=1 в сте­пе­ни n при­над­ле­жит t_ дробь: чис­ли­тель: k минус 1n} в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: f конец дроби левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx,

сде­лав в каж­дом из ин­те­гра­лов за­ме­ну u=x минус дробь: чис­ли­тель: k минус 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби , по­лу­чим

\eqalign \sum_k=1 в сте­пе­ни n при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: k минус 1n пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \sum_k=1 в сте­пе­ни n дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: k конец дроби минус 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx боль­ше или равно

 

боль­ше или равно при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка n\rootn \of дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \ldots дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: n минус 1n пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби } dx= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби , зна­ме­на­тель: n конец дроби dx=1, пра­вая круг­лая скоб­ка

по­сколь­ку f левая круг­лая скоб­ка u плюс дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка . Если альфа = дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: n конец дроби , то можно по­сту­пить ана­ло­гич­но при­ме­ни­тель­но к ин­те­гра­лу

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: m конец дроби при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни m дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx = при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx.

До­ка­жем те­перь, что не­ра­вен­ство спра­вед­ли­во при всех альфа при­над­ле­жит \Bbb R. Для этого до­ста­точ­но по­ка­зать, что функ­ция \Phi, опре­де­лен­ная фор­му­лой \Phi левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx, не­пре­рыв­на на \Bbb R. Пусть c=\min\limits_x при­над­ле­жит \Bbb R f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. По­сколь­ку f не­пре­рыв­на и пе­ри­о­дич­на, то она рав­но­мер­но не­пре­рыв­на, зна­чит, для лю­бо­го \varepsilon боль­ше 0 най­дет­ся такое дель­та боль­ше 0, что для любых u_1, u_2, таких, что |u_1 минус u_2| мень­ше дель­та , верно не­ра­вен­ство |f левая круг­лая скоб­ка u_1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка u_2 пра­вая круг­лая скоб­ка | мень­ше или равно c\varepsilon, от­ку­да сле­ду­ет оцен­ка

|\Phi левая круг­лая скоб­ка альфа _1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \Phi левая круг­лая скоб­ка альфа _2 пра­вая круг­лая скоб­ка |\leqslant при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 дробь: чис­ли­тель: |f левая круг­лая скоб­ка x плюс альфа _1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка x плюс альфа _2 пра­вая круг­лая скоб­ка |, зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби dx мень­ше или равно при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 дробь: чис­ли­тель: c\varepsilon, зна­ме­на­тель: c конец дроби dx =\varepsilon.

Ответ: альфа при­над­ле­жит \Bbb R.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024