PDF-версии: 
a) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все прямые, касающиеся графика функции 
в двух различных точках.
Решение. Два первых пункта этой задачи абсолютно стандартны.
а) Решите неравенство 
Ответ: 
б) После замены 
и обычных преобразований получаем неравенство 
значит, (учитывая, что 
или 
Ответ: 
в) Решение задачи этого пункта уже не является стандартным. Целесообразно записать
График 
касается оси абсцисс в точках 
и 
(см. рис.), поэтому график данной функции касается прямой 
в точках с такими же абсциссами. Этот факт очевиден с геометрической точки зрения. Пусть два графика имеют общую касательную. Если добавить к каждой из данных функций одно и то же слагаемое, то новые графики также будут иметь общую касательную. Приведем в нашем случае и формальное доказательство.
Пусть 
и 
Имеем: 
и 
поэтому 
Остается открытым вопрос о единственности такой «двойной» касательной. С геометрической точки зрения все очевидно, достаточно взглянуть на эскиз графика функции g (см. рис.). Для аккуратного доказательства единственности следовало бы использовать выпуклость этого графика, поэтому мы изберем другой, алгебраический, подход.
Поскольку утверждение, которое мы сейчас докажем, имеет общий характер, сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Пусть 
— многочлен и 
Тогда делится на 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
Следствие. Если прямая, заданная уравнением 
касается графика многочлена в точке 
то разность 
делится на (Попробуйте доказать это следствие самостоятельно).
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках.
Если прямая 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит,
где 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда
Если 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |