a) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все прямые, касающиеся графика функции 
в двух различных точках.
Два первых пункта этой задачи абсолютно стандартны.
а) Решите неравенство 
Ответ: 
б) После замены 
и обычных преобразований получаем неравенство 
значит, (учитывая, что 
или 
Ответ: 
в) Решение задачи этого пункта уже не является стандартным. Целесообразно записать
График 
касается оси абсцисс в точках 
и 
(см. рис.), поэтому график данной функции касается прямой 
в точках с такими же абсциссами. Этот факт очевиден с геометрической точки зрения. Пусть два графика имеют общую касательную. Если добавить к каждой из данных функций одно и то же слагаемое, то новые графики также будут иметь общую касательную. Приведем в нашем случае и формальное доказательство.
Пусть 
и 
Имеем: 
и 
поэтому 
Остается открытым вопрос о единственности такой «двойной» касательной. С геометрической точки зрения все очевидно, достаточно взглянуть на эскиз графика функции g (см. рис.). Для аккуратного доказательства единственности следовало бы использовать выпуклость этого графика, поэтому мы изберем другой, алгебраический, подход.
Поскольку утверждение, которое мы сейчас докажем, имеет общий характер, сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Пусть 
— многочлен и 
Тогда делится на 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
Следствие. Если прямая, заданная уравнением 
касается графика многочлена в точке 
то разность 
делится на (Попробуйте доказать это следствие самостоятельно).
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках.
Если прямая 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит,
где 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда
Если 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.