PDF-версии: 
а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
Решение. а) Решение стандартно, геометрическая интерпретация — на рисунке.
Ответ: 
б) После разложения на множители получаем, что
или 
откуда 
при 
Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции 
при 
(см. рисунок).
Ответ: 
при любых a, 
при 
при 
в) Так как
то 
Это уравнение имеет очевидное решение 
осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство — далее), что 
«растет быстрее», чем 
Действительно,
при 
значит, функция 
возрастает на 
и более одного нуля не имеет. Если 
Ответ: 1.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любых a, при при 1. при любых a, при при 1.