РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 28 № 981 Добавить в вариант

а)  Решите неравенство $x плюс \root 3 \of|3x плюс 1| минус 1\geqslant0.$

б)  Найдите все решения уравнения $косинус 2x=a левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка ,$ лежащие в отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$

в)  Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 3 в степени x плюс 2 в степени x .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Решение стандартно, геометрическая интерпретация  — на рисунке.

Ответ: $x= минус 1,$ $x больше или равно 0.$

б)   После разложения на множители получаем, что $косинус x минус синус x=0$ или $косинус x плюс синус x=a,$ откуда $x= дробь: числитель: Пи }4\pm арккосинус дробь: числитель: {, знаменатель: a конец дроби , знаменатель: корень из 2 конец дроби плюс 2 Пи k,$ при $k принадлежит \Bbb Z.$ Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции $y= косинус x плюс синус x$ при $x принадлежит левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ (см. рисунок).

Ответ: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ при любых a, $дробь: числитель: Пи }4\pm арккосинус дробь: числитель: {, знаменатель: a конец дроби , знаменатель: корень из 2 конец дроби$ при $1 меньше или равно a меньше корень из 2 ,$ $дробь: числитель: Пи }4 плюс арккосинус дробь: числитель: {, знаменатель: a конец дроби , знаменатель: корень из 2 конец дроби$ при $минус 1 меньше или равно a меньше 1.$

в)  Так как

$3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени x минус 2 в степени x = левая круглая скобка 3 в степени x плюс 2 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени x минус 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка ,$

то $3 в степени x =2 в степени x плюс 1.$ Это уравнение имеет очевидное решение $x=1,$ осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство  — далее), что $3 в степени x$ «растет быстрее», чем $2 в степени x плюс 1.$ Действительно,

$левая круглая скобка 3 в степени x минус 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка '=3 в степени x натуральный логарифм 3 минус 2 в степени x натуральный логарифм 2 больше 0$

при $x больше 0,$ значит, функция $3 в степени x минус 2 в степени x минус 1$ возрастает на $левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка$ и более одного нуля не имеет. Если $x меньше или равно 0,$ то $3 в степени x меньше или равно 1 меньше 1 плюс 2 в степени x ,$ поэтому на отрицательной части вещественной оси корней у уравнения нет.

Ответ: 1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства комбинированные, Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения показательные, Задачи с параметрами. Параметры и тригонометрия, Методы алгебры. Использование геометрических интерпретаций, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь