PDF-версии: 
а) Докажите, что число различных способов замощения полоски размером 
«доминошками» равно n-му числу Фибоначчи.
б) Найдите формулу для суммы квадратов коэффициентов в разложении бинома 
в) Шестеро учеников готовятся к ответу, сидя в один ряд на скамье за общим столом. Учитель может вызвать их в любом порядке. Какова вероятность того, что, выходя к доске, хотя бы один из них потревожит другого?
Решение. а) Пусть xn — число способов замощения полоски «доминошками». Крайняя левая доминошка может лежать так, как показано на рисунке, а или б, в первом случае имеются 
способов замощения оставшейся полоски, во втором их 
Значит, 
а так как 
и 
то, рассуждая по индукции, получаем, что xn — это n-е число Фибоначчи.
б) До этой формулы можно догадаться, рассмотрев несколько значений n, и затем доказать ее по индукции. Приведем, однако, другое рассуждение.
Имеем: 
коэффициент при 
в левой части равен сумме 
откуда и следует указанное тождество.
Ответ: 
в) Найдем вероятность того, что каждый раз ученик выходит к доске, не попросив подняться никого из своих одноклассников. В первый раз учитель должен вызвать Алешу или Евгения (см. рис.), вероятность этого события равна
во второй — опять-таки двух крайних (вероятность — 
и так далее, таким образом с вероятностью 
никто никому не помешает. Искомая вероятность равна 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |