сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  До­ка­жи­те, что число раз­лич­ных спо­со­бов за­мо­ще­ния по­лос­ки раз­ме­ром 2\times n «до­ми­нош­ка­ми» равно n-му числу Фи­бо­нач­чи.

б)  Най­ди­те фор­му­лу для суммы квад­ра­тов ко­эф­фи­ци­ен­тов в раз­ло­же­нии би­но­ма левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n .

в)  Ше­сте­ро уче­ни­ков го­то­вят­ся к от­ве­ту, сидя в один ряд на ска­мье за общим сто­лом. Учи­тель может вы­звать их в любом по­ряд­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что, вы­хо­дя к доске, хотя бы один из них по­тре­во­жит дру­го­го?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть xn  — число спо­со­бов за­мо­ще­ния по­лос­ки 2\times n «до­ми­нош­ка­ми». Край­няя левая до­ми­нош­ка может ле­жать так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, а или б, в пер­вом слу­чае име­ют­ся x_n минус 1 спо­со­бов за­мо­ще­ния остав­шей­ся по­лос­ки, во вто­ром их x_n минус 2. Зна­чит, x_n=x_n минус 1 плюс x_n минус 2, а так как x_1=1 и x_2=2, то, рас­суж­дая по ин­дук­ции, по­лу­ча­ем, что xn  — это n-е число Фи­бо­нач­чи.

б)  До этой фор­му­лы можно до­га­дать­ся, рас­смот­рев не­сколь­ко зна­че­ний n, и затем до­ка­зать ее по ин­дук­ции. При­ве­дем, од­на­ко, дру­гое рас­суж­де­ние.

Имеем: левая круг­лая скоб­ка \sum пре­де­лы: от k=0 в сте­пе­ни n C_n в сте­пе­ни k x в сте­пе­ни k пра­вая круг­лая скоб­ка } в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2n пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum\limits_k=0 до 2n, C_{2n в сте­пе­ни k x в сте­пе­ни k , ко­эф­фи­ци­ент при x в сте­пе­ни n в левой части равен сумме \sum\limits_k=0 в сте­пе­ни n C_n в сте­пе­ни k C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum\limits_k=0 в сте­пе­ни n левая круг­лая скоб­ка C_n в сте­пе­ни k пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , от­ку­да и сле­ду­ет ука­зан­ное тож­де­ство.

 

Ответ: \sum\limits_k=0 в сте­пе­ни n левая круг­лая скоб­ка C_n в сте­пе­ни k пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =C_2n в сте­пе­ни n .

 

в)   Най­дем ве­ро­ят­ность того, что каж­дый раз уче­ник вы­хо­дит к доске, не по­про­сив под­нять­ся ни­ко­го из своих од­но­класс­ни­ков. В пер­вый раз учи­тель дол­жен вы­звать Алешу или Ев­ге­ния (см. рис.), ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , во вто­рой  — опять-таки двух край­них (ве­ро­ят­ность  — \left дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , и так далее, таким об­ра­зом с ве­ро­ят­но­стью дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби 45 никто ни­ко­му не по­ме­ша­ет. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби 45= дробь: чис­ли­тель: 43, зна­ме­на­тель: 45 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 43, зна­ме­на­тель: 45 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024