РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 29 № 990 Добавить в вариант

а)  Докажите, что если число $x плюс x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ целое, то при всех $n принадлежит \Bbb Z$ число $x в степени n плюс x в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка$ также целое.

б)  Докажите, что число $левая квадратная скобка левая круглая скобка 3 плюс корень из 5 правая круглая скобка в степени n правая квадратная скобка плюс 1$ делится на $2 в степени n$ ( $левая квадратная скобка . правая квадратная скобка$   — целая часть числа).

в)  Докажите, что если многочлен $x в степени n плюс 1$ делится на многочлен $x в степени k плюс 1,$ то многочлен $x в степени левая круглая скобка 4n правая круглая скобка плюс 1$ делится на $x в степени левая круглая скобка 4k правая круглая скобка плюс 1.$

Спрятать решение

Решение.

а)  Положим $a_n=x в степени n плюс x в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка .$ Утверждение легко доказывается по индукции в силу тождества $a_n плюс 1=a_1a_n минус a_n минус 1.$ Единственное, что следует отметить, это то, что индукционное предположение заключается в справедливости утверждения для всех $k меньше или равно n.$

б)  Пусть $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3 плюс корень из 5 правая круглая скобка ,$ тогда $a в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3 минус корень из 5 правая круглая скобка ,$ так что $a плюс a в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =3,$ поэтому число $a в степени n плюс a в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка =k$ целое. Так как $a больше 2,$ то $a в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка меньше 2 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка ,$ поэтому $k минус 2 в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка меньше a в степени n меньше k,$ значит, $k умножить на 2 в степени n минус 1 меньше левая круглая скобка 3 плюс корень из 5 правая круглая скобка в степени n меньше k умножить на 2 в степени n$ и $левая квадратная скобка левая круглая скобка 3 плюс корень из 5 правая круглая скобка в степени n правая квадратная скобка плюс 1=k умножить на 2 в степени n .$

в)  Нетрудно видеть, что если $p левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — частное от деления многочлена $x в степени n плюс 1$ на $x в степени k плюс 1,$ то частным от деления $x в степени левая круглая скобка 4n правая круглая скобка плюс 1$ на $x в степени левая круглая скобка 4k правая круглая скобка плюс 1$ будет многочлен $p левая круглая скобка x в степени 4 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь