PDF-версии: 
Последовательности an , bn связаны соотношениями 
а) Пусть 
Положим
Докажите, что числа 
образуют геометрическую прогрессию.
б) Докажите, что пределы 
существуют и не зависят от выбора 
в) Лучи 
и 
лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч 
является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом 
а mn — биссектрисой угла между осью ординат и 
Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом 
и осью абсцисс.
Решение. а) Пусть Положим
Докажите, что числа образуют геометрическую прогрессию. Заметим, что 
поэтому
Итак, 
отличается от 
ровно в 4 раза. Тогда
Итак, 
отличается от 
ровно в 4 раза. Наконец 
и 
поэтому
и
А дальше при переходе к номеру, отличающемуся вдвое, выражения 
и 
уменьшатся вчетверо, значит, их квадраты — в 16 раз, сумма квадратов тоже в 16 раз, корень из нее — в 4 раза. То есть 
поэтому с четными и неучёными номерами образуют геометрические прогрессии со знаменателем 
а тогда (учитывая 
)
Докажите, что пределы существуют и не зависят от выбора Из решения пункта a следует, что 
и 
поэтому и последовательность 
образованная перемешиванием этих двух, стремится к нулю. Поэтому 
Аналогично 
в) Лучи и лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом а mn — биссектрисой угла между осью ординат и Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом и осью абсцисс.
Обозначим за an угол между лучом и осью абсцисс, а за bn — угол между лучом mn и осью абсцисс, деленные 
и 
значит, эти последовательности удовлетворяют тем же соотношениям, которые использовались в первых пунктах. Поэтому
Поскольку все лучи, очевидно, лежат в первой четверти,
откуда 
с точностью 
а угол равен 
с точностью 
что и требовалось.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |