Последовательности an , bn связаны соотношениями 
а) Пусть 
Положим
Докажите, что числа 
образуют геометрическую прогрессию.
б) Докажите, что пределы 
существуют и не зависят от выбора 
в) Лучи 
и 
лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч 
является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом 
а mn — биссектрисой угла между осью ординат и 
Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом 
и осью абсцисс.
а) Пусть Положим
Докажите, что числа образуют геометрическую прогрессию. Заметим, что 
поэтому
Итак, 
отличается от 
ровно в 4 раза. Тогда
Итак, 
отличается от 
ровно в 4 раза. Наконец 
и 
поэтому
и
А дальше при переходе к номеру, отличающемуся вдвое, выражения 
и 
уменьшатся вчетверо, значит, их квадраты — в 16 раз, сумма квадратов тоже в 16 раз, корень из нее — в 4 раза. То есть 
поэтому с четными и неучёными номерами образуют геометрические прогрессии со знаменателем 
а тогда (учитывая 
)
Докажите, что пределы существуют и не зависят от выбора Из решения пункта a следует, что 
и 
поэтому и последовательность 
образованная перемешиванием этих двух, стремится к нулю. Поэтому 
Аналогично 
в) Лучи и лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом а mn — биссектрисой угла между осью ординат и Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом и осью абсцисс.
Обозначим за an угол между лучом и осью абсцисс, а за bn — угол между лучом mn и осью абсцисс, деленные 
и 
значит, эти последовательности удовлетворяют тем же соотношениям, которые использовались в первых пунктах. Поэтому
Поскольку все лучи, очевидно, лежат в первой четверти,
откуда 
с точностью 
а угол равен 
с точностью 
что и требовалось.
Ответ: 