Кратчайшей между двумя точками на поверхности куба называется ломаная наименьшей длины с концами в этих точках, целиком лежащая на поверхности куба (в случае точек из одной грани это будет отрезок). Треугольником на поверхности куба называют наименьшую по площади область на поверхности куба, границей которой служат кратчайшие, попарно соединяющие три точки. Какое наибольшее число вершин куба может оказаться внутри треугольника на его поверхности?
Расставим вершины треугольника PQR на кубе ABCDA1B1C1D1 следующим образом. Точка P — середина грани AA1B1B, Q середина ребра DD1, R — середина ребра CC1. PQR — действительно треугольник на кубе, так как PR действительно кратчайшее расстояние на кубе. Площадь треугольника PQR равна половине площади поверхности куба. В этот треугольник попали 4 вершины куба. Это наибольшее возможное количество вершин. В самом деле, площадь треугольника PQR на кубе не превосходит площади поверхности куба, отсекаемой плоскостью PQR (обозначим эту область S). Поэтому количество вершин куба попавших в треугольник PQR не больше количества вершин, попавших в область S.
Ответ: 4 вершины.