а) У Янатты имеются чашечные весы и набор разновесок в 1, 5, ..., 51995 аппа (по одной каждого веса). Докажите, что ей не удастся разложить их по чашкам весов так, чтобы весы были в равновесии.
б) Вычислите интеграл 
в) Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что из образовавшихся кусков можно составить треугольник.
Решение. а) На одной из чашек окажется гиря в 1 грамм. Тогда общая сумма весов на этой чашке станет выражаться числом граммов, не кратным 5. А на второй чашке все веса гирь кратны пяти, значит, их сумма тоже. Поэтому веса не равны.
б) Преобразуем подынтегральное выражение с помощью многократного использования формул преобразования суммы в произведение. Например 
затем преобразуем так же 
и 
и так далее. В итоге мы получим сумму синусов и косинусов от углов вида 
По доказанному в предыдущем пункте, ни одна такая сумма не дает 0. Но при 
имеем
поскольку 
— периодическая функция. Аналогично и 
Значит, интеграл суммы любых таких синусов и косинусов с произвольными коэффициентами тоже равен нулю.
в) Будем считать, что палку случайно ломают следующим образом — сначала выбирают на ней случайным образом две точки, а затем ломают в них. Будем считать, что палки имеют длину 1, первая точка деления отделяет обломок длиной x, а вторая 
тогда третий обломок имеет длину 
Для составления треугольника необходимо и достаточно выполнение трех условий:
1) если 
то 
отсюда 
2) если 
то 
отсюда 
3) если 
то 
отсюда 
Теперь рассмотрим область плоскости, заданную условиями 
и выясним, в какой ее части выполнены все эти условия. Любое линейное неравенство относительно x и y задает на плоскости некоторую полуплоскость. Интересующая нас область изображена на рисунке.
Как видно из рисунка, область — прямоугольный треугольник, а область, задаваемая в нем указанными тремя неравенствами — его серединный треугольник, поэтому ее площадь равна четверти площади треугольника. Значит, указанное событие происходит с вероятностью 
Ответ:
Спрятать критерииКритерии проверки:| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
