РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 27 № 996 Добавить в вариант

а)  Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение $x в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка минус ax плюс 1=0?$

б)  Пусть $s=a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n$ ( $a_i\geqslant минус 1$ ). Докажите неравенство

$левая круглая скобка a_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка a_n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно e в степени s .$

в)  Пусть A, B, C  — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если

$тангенс левая круглая скобка A минус B правая круглая скобка плюс тангенс левая круглая скобка B минус C правая круглая скобка плюс тангенс левая круглая скобка C минус A правая круглая скобка =0,$

то этот треугольник  — равнобедренный.

г)  Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = принадлежит t\limits_0 в степени x синус в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка t dt.$ Решите уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0.$

Спрятать решение

Решение.

а)  Преобразовав данное уравнение к виду $a=x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби$ и построив график функции $y=x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ получим ответ.

Ответ: один корень, если $a меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби \root11\of10,$ два, если $a= дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби \root11\of10$ и три корня, если $a больше дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби \root11\of10.$

б)  Исследовав функцию $y=e в степени x минус x минус 1,$ нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, $e в степени x больше или равно x плюс 1.$ Осталось перемножить неравенства $a_i плюс 1 меньше или равно e в степени левая круглая скобка a_i правая круглая скобка$ (обе части которых по предположению неотрицательны).

в)  Положим для удобства $x=A минус B,$ $y=B минус C$ и $z=C минус A.$ Таким образом, $x плюс y плюс z=0$ и $тангенс x плюс тангенс y плюс тангенс z=0,$ откуда

$тангенс x плюс тангенс y= тангенс левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = дробь: числитель: тангенс x плюс тангенс y, знаменатель: 1 минус тангенс x тангенс y конец дроби .$

Если, к примеру,

$тангенс x плюс тангенс y= тангенс левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус тангенс z=0,$

то $z=C минус A=0.$

г)  Так как $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = синус в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка x,$ то функция f монотонна на каждом из отрезков $левая квадратная скобка Пи k; Пи левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка ,$ значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что

$f левая круглая скобка 2 Пи k правая круглая скобка = принадлежит t_0 в степени левая круглая скобка 2 Пи k правая круглая скобка синус в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка x dx=0,$

достаточно ясно.

Ответ: $левая фигурная скобка 2 Пи k : k принадлежит \Bbb Z правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Анализ. Интеграл, Анализ. Функциональные уравнения и неравенства, Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь