РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 30 № 999 Добавить в вариант

Про последовательность $левая фигурная скобка q_n правая фигурная скобка$ известно, что $q_1=1,$ $q_i принадлежит \Bbb N$ и $q_n плюс 1 меньше или равно q_1 плюс \ldots плюс q_n плюс 1.$

а)  Докажите, что любое натуральное число представимо в виде суммы различных (возможно, одного) членов этой последовательности.

б)  Докажите, что если последовательность q_n такова, что всякое натуральное числа представляется в виде суммы некоторых членов последовательности $левая фигурная скобка q_n правая фигурная скобка$ единственным образом, то

$левая круглая скобка 1 плюс x в степени левая круглая скобка q_1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x в степени левая круглая скобка q_2 правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 плюс x в степени левая круглая скобка q_n правая круглая скобка правая круглая скобка =1 плюс x плюс x в квадрате плюс \ldots плюс x в степени N .$

в)  Найдите все последовательности, для которых имеет место тождество из предыдущего пункта.

Спрятать решение

Решение.

а)  Индукционное предположение: в виде сумм чисел $q_1,\ldots,q_n$ представимо каждое натуральное число от 1 до $N_n=q_1 плюс \dots плюс q_n.$ Тогда, добавляя число $q_n плюс 1,$ мы сможем представить еще числа от $q_n плюс 1$ до $N_n плюс q_n плюс 1=N_n плюс 1.$ Поскольку по предположению $q_n плюс 1 меньше или равно q_1 плюс \ldots плюс q_n плюс 1,$ в требуемом виде представляются все числа от 1 до $N_n плюс 1.$

б) Раскрывая скобки в левой части, мы будем получать одночлены вида $x в степени S ,$ причем в силу условия на данный набор чисел q_k каждое $1 меньше или равно s меньше или равно N=q_1 плюс \ldots плюс q_n$ появится ровно один раз, поэтому коэффициент при каждом таком одночлене равен единице.

в) $q_k=2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$ Из результатов предыдущих пунктов следует, что $q_k=q_1 плюс q_2 плюс \ldots плюс q_k минус 1 плюс 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь