Из­вест­но, что сумма цифр числа А равна 59, а сумма цифр числа В равна 77. Какую ми­ни­маль­ную сумму цифр может иметь число ?

На ост­ро­ве про­жи­ва­ют 20 че­ло­век, часть из них ры­ца­ри, ко­то­рые все­гда го­во­рят прав­ду, а осталь­ные  — лжецы, ко­то­рые все­гда лгут. Каж­дый ост­ро­ви­тя­нин точно знает, кто из осталь­ных ры­царь, а кто  — лжец. На во­прос при­ез­же­го, сколь­ко ры­ца­рей про­жи­ва­ют на ост­ро­ве, пер­вый из ост­ро­ви­тян от­ве­тил: «Ни од­но­го», вто­рой: «Не более од­но­го», тре­тий: «Не более двух», четвѐртый: «Не более трёх» и т. д., два­дца­тый за­явил: «Не более де­вят­на­дца­ти». Так сколь­ко же ры­ца­рей про­жи­ва­ют на ост­ро­ве?

Найти ве­ли­чи­ну вы­ра­же­ния если из­вест­но, что и

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС от­ме­че­ны: точка К  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы АВ и на ка­те­те ВС точка М такая, что Пусть от­рез­ки АМ и СК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р. До­ка­жи­те, что пря­мая КМ ка­са­ет­ся опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АКР.

В фут­боль­ном тур­ни­ре участ­во­ва­ло 10 ко­манд, каж­дая из ко­то­рых с каж­дой из осталь­ных сыг­ра­ла по од­но­му матчу. По окон­ча­нии тур­ни­ра вы­яс­ни­лось, что для любой трой­ки ко­манд най­дут­ся две ко­ман­ды из этой трой­ки, на­брав­ших рав­ное число очков в играх с ко­ман­да­ми из этой трой­ки. До­ка­зать, что все ко­ман­ды можно раз­бить не более, чем на три под­груп­пы таких, что любые две ко­ман­ды из одной под­груп­пы сыг­ра­ли между собой вни­чью. За вы­иг­рыш в фут­бо­ле ко­ман­да по­лу­ча­ет 3 очка, за ничью  — 1 очко и за про­иг­рыш  — 0 очков.