PDF-версии: 
а) Докажите, что уравнение 
имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что неравенство 
верно при всех 
г) Существует ли прямая, пересекающая кривую 
в трех различных точках?
Решение. а) Пусть 
Заметим, что
то есть 
и 
имеют разные знаки. Значит, на отрезке 
есть один корень уравнения 
а всего корней два (если бы он был один, то график 
касался бы оси абсцисс и функция не принимала бы значений разных знаков). Обратное утверждение неверно, если, например, оба корня не лежат на этом отрезке, как у трехчлена 
тогда корнями будут 
и 
а
б) Так как 
то равенство возможно лишь в тех случаях, когда 
откуда 
Для решений первой системы имеем 
откуда 
Поскольку k и l — целые числа, а 
получаем следующие варианты: 
или 
или 
или, наконец, 
и 
Ответ: 
в) Неравенство
задает множество пар 
лежащих в квадрате со сторонами, параллельными биссектрисам координатных углов, имеющем центр в точке с координатами 
Множество пар лежащих в каждом таком квадрате при 
является прямоугольником.
Ответ: см. рисунке.
г) Возьмем для примера прямую, проходящую через точки с координатами 
и 
(смотрите решение соответствующего пункта варианта 9).
Ответ: да, существует.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунке. да, существует. см. рисунке. да, существует.
не имеет решений.
и при таких x можно домножить его на 
и возвести потом в квадрат (обе части будут неотрицательны)
будут 
поэтому множеством решения неравенства будут 
Ясно, что 
поэтому учитывая условие 
получим окончательный ответ 
и 
Последнее условие дает 
и 
Вместе с первыми получим область определения 
тогда 
и 
Отсюда 
где 
Поскольку все такие x входят в ОДЗ неравенства, это и есть окончательный ответ.
тогда уравнение примет вид 
и нам нужно, чтобы это уравнение не имело корней на промежутке 
Для этого достаточно, чтобы были положительны значения в концах этого отрезка и при 
если 
то есть при 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим 
При этом для 
этих условий достаточно. Для прочих k еще нужно выполнение условий 
поэтому 
не подходит. Окончательно 
и 
делится на 
отличные от 
при которых многочлен 
имеет действительные корни.
многочлен 
делится на 
Ясно также, что если имеет место разложение 
то 
и 
Преобразование 
Теперь уже нетрудно догадаться, что 
Многочлен pn(x) делится на q(x), если числа z1, 2 являются также и его корнями. Преобразование:
тогда
чтобы дать 
а его свободный член равен 
чтобы сходился свободный член произведения. Наконец средний коэффициент противоположен к 
чтобы коэффициент при 
оказался бы нулем).
при всех 
Поэтому вещественных корней это уравнение не имеет 
Тогда нужно доказать, что многочлен 
делится на какой-то квадратный трехчлен, что очевидно. В остальных случаях 
Найдем комплексные корни 
тогда 
тоже будет корнем. Подставляя 
получим
при всех 
не зависит от t. Предположим дополнительно, что функция f положительна. Пусть 
где n — натуральное число. Имеем сумму: 
получим 
Если 
то можно поступить аналогично применительно к интегралу 
Для этого достаточно показать, что функция 
определенная формулой 
непрерывна на 
Пусть 
Поскольку f непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна, значит, для любого 
найдется такое 
что для любых 
таких, что 
верно неравенство 
откуда следует оценка 