РЕШУ ОЛИМП — математика

Вариант № 158

Олимпиада абитуриентов естественно-научных факультетов СПбГУ, 1996 год, вариант 2

а)  Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение

$ax в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка плюс x минус 1=0?$

б)  Пусть $p=b_1b_2\ldots b_n$ ( $b_i больше 0$ ). Докажите неравенство

$b_1 плюс b_2 плюс \ldots плюс b_n больше или равно n плюс натуральный логарифм p.$

в)  Пусть A, B, C  — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если

$синус левая круглая скобка A минус B правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка B минус C правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка C минус A правая круглая скобка =0,$

то этот треугольник  — равнобедренный.

г)  Пусть $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = принадлежит t\limits_0 в степени x косинус в степени n tdt.$ Найдите все $n принадлежит \Bbb N,$ при которых функция g периодична.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

а)  Решите неравенство $| логарифм по основанию 3 x| плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка 3 меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Найдите все числа $k принадлежит левая фигурная скобка 1, 2, \ldots, 6 правая фигурная скобка ,$ для которых верно неравенство $синус в квадрате k плюс косинус в квадрате 2k плюс синус в квадрате 3k\geqslant1.$

в)  Изобразите на координатной плоскости множество всех точек $A левая круглая скобка a, b правая круглая скобка ,$ таких что уравнение $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента =ax плюс b$ ( $b меньше 0$ ) имеет решение.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Про последовательность $левая фигурная скобка c_n правая фигурная скобка$ известно, что $c_1=c больше 0$ и $c_n плюс 1= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: c_n в квадрате плюс 4 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: c_n конец дроби .$

а)  Докажите, что последовательность $левая фигурная скобка c_n правая фигурная скобка$ монотонна и вычислите ее предел.

б)  Докажите, что если $c=2,$ то $\lim\limits2 в степени n c_n= Пи .$

в)  Сколько рациональных чисел может содержать такая последовательность?

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Пусть $A_0, A_1, \ldots, A_4$   — вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром O.

а)  Докажите, что $\overlineOA_0 плюс \overlineOA_1 плюс \ldots плюс \overlineOA_4=0.$

б)  Докажите, что $левая круглая скобка A_0A_1 умножить на A_0A_2 правая круглая скобка в квадрате =5.$

в)  Докажите, что многочлен $x в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка плюс x в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка плюс x в степени 8 плюс x в степени 4 плюс 1$ делится на многочлен $x в степени 4 плюс x в кубе плюс x в квадрате плюс x плюс 1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1001	а)   $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 27; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 3 ; 3 в степени { дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка ;$ б)   $левая фигурная скобка 2, 3,5,6 правая фигурная скобка ;$ в)   $\|a\| больше 1.$

Олимпиада абитуриентов естественно-научных факультетов СПбГУ, 1996 год, вариант 2

Ключ