На 2016 карточках написали числа от 1 до 2016 (каждое по одному разу). Затем взяли k карточек. При каком наименьшем k среди них найдутся две карточки с числами, разность корней из которых меньше 1?
Решение.
Покажем, что подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 44 группы:
Поскольку чисел 45, какие-то два из них (назовем их a и b) окажутся в одной группе. Пусть для определенности Тогда
и, следовательно,
Предъявим теперь 44 числа, все разности между корнями из которых не меньше 1: 12, 22, 32, 42, ..., 442.
На 2016 карточках написали числа от 1 до 2016 (каждое по одному разу). Затем взяли k карточек. При каком наименьшем k среди них найдутся две карточки с такими числами a и b, что
Решение.
Покажем, что подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 12 групп:
Поскольку чисел 13, какие-то два из них (назовем их a и b ) окажутся в одной группе. Пусть для определенности Тогда
и, следовательно,
Предъявим теперь 12 чисел, все разности между кубическими корнями из которых не меньше 1: 13, 23, 33, 43, ..., 123.
подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 44 группы: 
Тогда 
подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 12 групп: 
