Рас­ста­вим в клет­ках доски на­ту­раль­ные числа сле­ду­ю­щим об­ра­зом: первую стро­ку за­пол­ним еди­ни­ца­ми, вто­рую  — двой­ка­ми, тре­тью  — трой­ка­ми, и т. д., в каж­дую клет­ку по­след­ней стро­ки по­ста­вим число 218. Тогда в каж­дом пря­мо­уголь­ни­ке 1 × 5 сумма чисел де­лит­ся на 5. Дей­стви­тель­но, это утвер­жде­ние оче­вид­но для го­ри­зон­таль­ных пря­мо­уголь­ни­ков, а для вер­ти­каль­ных сумма все­гда имеет вид

для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го k и тоже крат­на 5. Сле­до­ва­тель­но, сумма чисел в квад­ра­ти­ке 2 × 2 долж­на иметь тот же оста­ток от де­ле­ния на 5, что и сумма чисел во всем квад­ра­те. Сумма всех чисел вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

Не­труд­но ви­деть, что оста­ток от де­ле­ния по­лу­чен­но­го числа на 5 равен остат­ку от де­ле­ния на 5, то есть 3. Такой оста­ток в квад­ра­те 2 × 2 с уче­том рас­ста­нов­ки чисел можно по­лу­чить, толь­ко если в нем стоят два числа с остат­ком 4 и два числа с остат­ком 0. Сле­до­ва­тель­но, от верх­не­го края боль­шо­го квад­ра­та квад­ра­тик от­де­ля­ют ми­ни­мум три стро­ки. Ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние верно и для трех дру­гих сто­рон.

Оста­лось при­ве­сти при­мер рас­по­ло­же­ния квад­ра­ти­ка на рас­сто­я­нии трех кле­ток от края и раз­ре­за­ние остав­шей­ся части на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 5. Легко при­ду­мать такое раз­ре­за­ние для квад­ра­та 8 × 8  — надо вы­ре­зать из него цен­траль­ный квад­рат 2 × 2, остав­ша­я­ся часть легко разо­бьет­ся на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 5 (см. рис.). Далее из квад­ра­та 218 × 218 уда­ля­ем квад­рат 8 × 8, рас­по­ло­жен­ный в углу, после чего остав­ша­я­ся часть пред­став­ля­ет­ся в виде объ­еди­не­ния пря­мо­уголь­ни­ков 8 × 210 и 210 × 8 и квад­ра­та 210 × 210. Все они легко раз­ре­за­ют­ся на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 5, так как 210 де­лит­ся на 5.

Ответ: 3.

Рас­ста­вим в клет­ках доски на­ту­раль­ные числа сле­ду­ю­щим об­ра­зом: первую стро­ку за­пол­ним еди­ни­ца­ми, вто­рую  — двой­ка­ми, тре­тью  — трой­ка­ми, и т. д., в каж­дую клет­ку по­след­ней стро­ки по­ста­вим число 698. Тогда в каж­дом пря­мо­уголь­ни­ке 1 × 7 сумма чисел де­лит­ся на 7. Дей­стви­тель­но, это утвер­жде­ние оче­вид­но для го­ри­зон­таль­ных пря­мо­уголь­ни­ков, а для вер­ти­каль­ных сумма все­гда имеет вид

для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го k и тоже крат­на 5. Сле­до­ва­тель­но, сумма чисел в квад­ра­ти­ке 2 × 2 долж­на иметь тот же оста­ток от де­ле­ния на 7, что и сумма чисел во всем квад­ра­те. Сумма всех чисел вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

Не­труд­но ви­деть, что оста­ток от де­ле­ния по­лу­чен­но­го числа на 7 равен остат­ку от де­ле­ния на 7, то есть 5. Такой оста­ток в квад­ра­те 2 × 2 с уче­том рас­ста­нов­ки чисел можно по­лу­чить, толь­ко если в нем стоят два числа с остат­ком 6 и два числа с остат­ком 0. Сле­до­ва­тель­но, от верх­не­го края боль­шо­го квад­ра­та квад­ра­тик от­де­ля­ют ми­ни­мум пять строк. Ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние верно и для трех дру­гих сто­рон.

Оста­лось при­ве­сти при­мер рас­по­ло­же­ния квад­ра­ти­ка на рас­сто­я­нии пяти кле­ток от края и раз­ре­за­ние остав­шей­ся части на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 7. Легко при­ду­мать такое раз­ре­за­ние для квад­ра­та 12 × 12  — надо вы­ре­зать из него цен­траль­ный квад­рат 2 × 2, остав­ша­я­ся часть легко разо­бьет­ся на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 7 (см. рис.). Далее из квад­ра­та 698 × 698 уда­ля­ем квад­рат 12 × 12, рас­по­ло­жен­ный в углу, после чего остав­ша­я­ся часть пред­став­ля­ет­ся в виде объ­еди­не­ния пря­мо­уголь­ни­ков 12 × 686 и 686 × 12 и квад­ра­та 686 × 686. Все они легко раз­ре­за­ют­ся на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 7, так как 686 де­лит­ся на 7.

Ответ: 5.

Рас­ста­вим в клет­ках доски на­ту­раль­ные числа сле­ду­ю­щим об­ра­зом: первую стро­ку за­пол­ним еди­ни­ца­ми, вто­рую  — двой­ка­ми, тре­тью  — трой­ка­ми, и т. д., в каж­дую клет­ку по­след­ней стро­ки по­ста­вим число 418. Тогда в каж­дом пря­мо­уголь­ни­ке 1 × 7 сумма чисел де­лит­ся на 7. Дей­стви­тель­но, это утвер­жде­ние оче­вид­но для го­ри­зон­таль­ных пря­мо­уголь­ни­ков, а для вер­ти­каль­ных сумма все­гда имеет вид

для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го k и тоже крат­на 5. Сле­до­ва­тель­но, сумма чисел в квад­ра­ти­ке 2 × 2 долж­на иметь тот же оста­ток от де­ле­ния на 7, что и сумма чисел во всем квад­ра­те. Сумма всех чисел вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

Не­труд­но ви­деть, что оста­ток от де­ле­ния по­лу­чен­но­го числа на 7 равен остат­ку от де­ле­ния на 7, то есть 5. Такой оста­ток в квад­ра­те 2 × 2 с уче­том рас­ста­нов­ки чисел можно по­лу­чить, толь­ко если в нем стоят два числа с остат­ком 6 и два числа с остат­ком 0. Сле­до­ва­тель­но, от верх­не­го края боль­шо­го квад­ра­та квад­ра­тик от­де­ля­ют ми­ни­мум пять строк. Ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние верно и для трех дру­гих сто­рон.

Оста­лось при­ве­сти при­мер рас­по­ло­же­ния квад­ра­ти­ка на рас­сто­я­нии пяти кле­ток от края и раз­ре­за­ние остав­шей­ся части на пря­мо­уголь­ни­ки Легко при­ду­мать такое раз­ре­за­ние для квад­ра­та 12 × 12  — надо вы­ре­зать из него цен­траль­ный квад­рат 2 × 2, остав­ша­я­ся часть легко разо­бьет­ся на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 7 (см. рис.). Далее из квад­ра­та 418 × 418 уда­ля­ем квад­рат 12 × 12, рас­по­ло­жен­ный в углу, после чего остав­ша­я­ся часть пред­став­ля­ет­ся в виде объ­еди­не­ния пря­мо­уголь­ни­ков 12 × 406 и 406 × 12 и квад­ра­та 406 × 406. Все они легко раз­ре­за­ют­ся на пря­мо­уголь­ни­ки 1 × 7, так как 406 де­лит­ся на 7.

Ответ: 5.