РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 854 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC  — параллельны, AD > BC). Окружность $\Omega$ вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что $CE= 9,$ $ED=7.$ Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции ABCD.

Решение.

Обозначим точки касания окружности со сторонами AB и AD трапеции через K и W соответственно. По теореме о касательной и секущей

$D W в квадрате =D E умножить на D C=7 умножить на 16 \Rightarrow D W=4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Так как C и W  — точки касания окружности с параллельными прямыми BC и AD, отрезок CW есть диаметр окружности, перпендикулярный этим прямым. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CDW находим, что

$C W= корень из: начало аргумента: 16 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =12.$

Следовательно, радиус R окружности равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C W=6.$ Пусть $B C=x.$ Тогда $B K=x$ (касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная,

$A K=A B минус B K=16 минус x.$

Значит, $A W=A K=16 минус x.$ Отсюда получаем, что сумма оснований есть

$B C плюс A D=x плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента плюс 16 минус x правая круглая скобка =16 плюс 4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ,$

и площадь трапеции равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12 умножить на левая круглая скобка 16 плюс 4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка =96 плюс 24 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Ответ: $R=6,$ $S_ABCD=96 плюс 24 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Найден радиус окружности — 2 балла.

Найдена площадь трапеции — 2 балла.

Ответ: $R=6,$ $S_ABCD=96 плюс 24 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Аналоги к заданию № 854: 861 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 0 № 861 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC  — параллельны, $AD больше BC правая круглая скобка .$ Окружность $\Omega$ вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что $CE=7,$ $ED=9.$ Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции ABCD.

Решение.

$D W в квадрате =D E умножить на D C=9 умножить на 16 \Rightarrow D W=12 .$

$C W= корень из: начало аргумента: 16 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 12 в квадрате правая круглая скобка =4 корень из 7 .$

Следовательно, радиус R окружности равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C W=2 корень из 7 .$ Пусть $B C=x .$ Тогда $B K=x$ (касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная,