Сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF образовано плоскостью, проходящей через центр основания ABCDEF и параллельной медиане CM боковой грани SCD и апофеме SN боковой грани SAF, сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 
Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
OY — средняя линия треугольника SNU.
Имеем 
Согласно теореме Фалеса, приходим к соотношениям 
Точка V — точка пересечения прямой KL и CD, 
и 
и 
Расстояние от точки C до сечения равно 
В треугольнике RCV проведем высоту CG, обозначим ее длину h. Тогда 
и 
Сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF образовано плоскостью, проходящей через вершину C основания ABCDEF и параллельной медиане BM боковой грани SAB и апофеме SN боковой грани SAF, сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 1. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
где a — сторона основания пирамиды.
треугольники COU и CFP подобны,
через точку G (G — точка пересечения CP и NR) проведем прямую GH, параллельную SN, 
Тогда 
Треугольники GOT и GRC подобны,
Точка K — точка пересечения CH и SD. Поскольку SR — медиана SCD,
то CK также медиана.
и 
Найдем CJ1 по теореме косинусов: 
Используя различные формулы для нахождения площади треугольника DCJ1, имеем
Тогда
